7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các dạng toán áp dụng

Bạn đang xem: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các dạng toán áp dụng

Bạn đang xem: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các dạng toán áp dụng Tại Pkmacbook.com

Ngày đăng: 12/05/2019, 12:48

Giáo án Bồi dỡng HSG Toán Lê Phong Lan – Trờng THCS Lê Quý Đôn Ngy son: 31 / 08 / 2018 Ngày giảng: 11+14 / 09 / 2018 Chuyên đề 1: NHNG HNG NG THC NG NH A Mục tiêu: – HS nắm đẳng thức đáng nhớ đẳng thức mở rộng, phương pháp giải tốn có sử dụng đẳng thức – Có kĩ nhận dạng vận dụng đẳng thức, kĩ giải toán có sử dụng đẳng thức – Tăng cường rèn luyện tư thuật toán, tư logic, khả khái qt hóa tốn – Bồi dưỡng lực tính tốn, lực sáng tạo lực tự học cho HS – Bồi dưỡng niềm đam mê tốn học, rèn tính cẩn thận, tỉ mỉ, xác giải toán B Chuẩn bị: – GV: giáo án, loại sách tham khảo (Nâng cao chuyên đề Toán 8, Nâng cao phát triển Toán 8, …), nghiên cứu tìm hiểu thư viện tài nguyên Violet… – HS: Tự tìm hiểu trước nội dung chuyên đề qua sách tham khảo tra cứu thư viện điện tử C Nội dung ôn luyện: I/ Những đẳng thức đáng nhớ:  Bảy đẳng thức đáng nhớ: Bình phương tổng: ( A + B ) = A + AB + B = ( A − B ) + AB Bình phương hiệu: ( A − B ) = ( B − A) = A − AB + B = ( A + B ) − AB Hiệu hai bình phương: A − B = ( A − B )( A + B ) Lập phương tổng: ( A + B ) = A + A B + AB + B = A3 + B + AB( A + B ) Lập phương hiệu: ( A − B ) = A − A B + AB − B = A − B − AB( A − B ) Tổng hai lập phương: ( ) ( ) A + B = ( A + B ) A − AB + B = ( A + B ) − AB.( A − B) Hiệu hai lập phương: A − B = ( A − B ) A + AB + B = ( A − B ) + AB.( A B ) Năm học 2018 – 2019 Giáo án Bồi dỡng HSG Toán Lê Phong Lan – Trờng THCS Lê Quý Đôn Mt số đẳng thức tổng quát: an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1) a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1) a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 – … + b2k) (a + b)n = an + nan-1b + (a -b)n = an – nan-1b + n(n − 1) n-2 n(n − 1) n-2 a b +…+ a b +nabn-1 + bn 1.2 1.2 n(n − 1) n-2 n(n − 1) n-2 a b – …a b +nabn-1 – bn 1.2 1.2 II/ Các dạng tập vận dụng đẳng thức đáng nhớ thường gặp:  Vận dụng 1: Chứng minh đẳng thức sau : ( A + B + C ) = A + B2 + C + ( AB + BC + AC ) 2 ( A + B + C ) = A + B3 + C3 + ( A + B ) ( B + C ) ( A + C ) 3 ( A + B2 ) = ( A + B ) + ( A − B ) 2 2 2 ( A + B ) ( X + Y ) = ( AX − BY ) + ( AX + BY ) 2 Hướng giải: Sử dụng HĐT biến đổi vế đưa biểu thức  Các đẳng thức vừa chứng minh HĐT mở rộng, có nhiều áp dụng hay  Vận dụng 2: Tính nhanh: a) A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20182 + 20192 b) B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 Hướng giải: a) A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20182 + 20192 A = + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20192 – 20182) A = + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + )(5 – 4) + … + (2019 + 2018)(2019 – 2018) A = + + + + + … + 2018 + 2019 A = ( + 2019 ) 2019 : = … b) B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = (22 – 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B=… B =(232 – 1)(232 + 1) – 264 B = 264 264 Năm học 2018 – 2019 Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n Lê Phong Lan – Trờng THCS Lê Quý Đôn B=-1  Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức A2 – B2  Vận dụng 3: Tìm giá trị nhỏ hay giá trị lớn biểu thức sau: a) A = x2 – 4x + b) B = x2 + 8x c) C = – 2×2 + 8x – 15 Hướng giải: a) A = x2 – 4x + = x2 – 4x + + = ( x – 2)2 + > Dấu “ =” xảy ⇔ x – = ⇔ x = Vậy giá trị nhỏ biểu thức A x = b) B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > – 16 Dấu “ =” xảy ⇔ x – = ⇔ x = Vậy giá trị nhỏ biểu thức A -16 x = c) C = – 2×2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – = – 2( x – 2)2 – m với m số – Chỉ dấu “=” xảy – Kết luận: Giá trị nhỏ A m ( kí hiệu minA )  Để tìm giá trị lớn biểu thức A ta cần: – Chứng minh A áp dụng nhận xét ta có: (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y) (y – z) (z – x) Bài 2: Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 thành nhân tử Hướng giải: Ta có : (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (-y2 – z2)3 Ta thấy x + y2 + z2 – x2 – y2 – z2 = => áp dụng nhận xét ta có: (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + – y2 – z2)3 = 3(x2 + y2) (z2 – x2) (-y2 – z2) = 3(x2 + y2) (x + z)(x – z)(y2 +z 2) Bài : Phân tích đa thức (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử Hướng giải: (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3 = (x + y)3 + (x + y) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 = x3 + y3 + 3xy(x + y) + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 – y3 – z3 = 3(x + y) (xy + yz + xz + z2) = 3(x + y)(y + z)(z + x) Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : (x + y + z)3 – (x + y – z)3 -(x – y + z)3 -(-x + y + z)3 Hướng giải: Đặt : x + y – z = a; x – y + z = b ; -x + y + z = c => x + y + z = a + b + c => (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(a + c) = 24xyz  Dạng 2: Tính giá trị biểu thức: Bài 1: Cho 1 + + = tính P = x y z Hướng giải: Từ => P = xy yz zx + + z x2 y 1 1 1 + + = => + + = x y z x y z xyz  1  xyz3 xy yz zx xyz xyz xyz + + = + + = xyz + +  = =3 z x y z x y y z  xyz x Năm học 2018 – 2019 Giáo án Bồi dỡng HSG Toán Lê Phong Lan – Trờng THCS Lê Quý Đôn a b b c  c a Bài 2: Cho abc ≠ 0, a3 + b3 + c3 = 3abc tính A = 1 + 1 + 1 +  a + b + c = Hướng giải : Từ a3 + b3 + c3 = 3abc =>  a = b = c  a + b  b + c  a + c  − c − a − b = −1   = b c α  b  c  c  Nếu a + b + c = A =  Nếu a = b = c A = (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = => A có giá trị: -1 Bài 3: Cho xyz ≠ thoả mãn : x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2  x  y  z  Tính P = 1 + 1 + 1 +   y  z  x Hướng giải : Đặt a = xy, b = yz, c = zx a + b + c = Ta có x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 => a3 + b3 + c3 = 3abc =>  a = b = c Nếu a + b + c = hay xy + yz + xz = (x+z) y = -xz P= =  x  y  z   x + y  y + z  z + x  ( x + y ) z ( y + z ) x ( x + z ) y 1 + 1 + 1 +  =    = y x x y z x yz zx xy             ( − xy )( − yz )( − zx ) = −1 zx.xy yz Nếu a = b = c hay xy = yz = zx => x = y = z => P =8 Bài 4: Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức: A = (a – b)c3 + (b – c)a3 + (c – a)b3 Hướng giải : Ta biến đổi b – c = b – a + a – c Ta A = (a – b)c3 + (b – a)a3 + (a – c)b3 = (a – b)(b – c)(a – c)(a + b + c) Vì a + b + c = -> A = x3 + y + z Bài 5: Cho x + y + z = Tính giá trị biểu thức B = − xzy Hướng giải : Vì x + y + z = => x3 + y3 + z3 = 3xyz => B = Năm học 2018 – 2019 x + y + z 3 xyz = = −3 − xyz − xyz Gi¸o ¸n Bồi dỡng HSG Toán Lê Phong Lan – Trờng THCS Lê Quý Đôn a + b2 + c2 Bài 6: Cho a + b + c = 3abc a + b + c ≠ Tính giá trị biểu thức M= ( a + b + c) 3 Hướng giải : Ta có: a3 + b3 + c3- 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) =  [ ] ( a + b + c) ( a − b) + ( b − c) + ( c − a ) = Mà: a + b + c ≠ => (a + b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = => a = b = c a + a + a 3a = = => M = 9a ( 3a ) Bài 7: Cho a + b + c = (a ≠ 0; b ≠ 0; c ≠ 0) Tính giá trị biểu thức a2 b2 c2 B= 2 + 2 + 2 a −b −c b −c −a c −a −b a b2 c2 + + A= ; cb ca ab Hướng giải : Ta có A = a + b3 + c abc Vì a + b + c = => a3 + b3 + c3 = 3abc => A = 3abc =3 abc Từ a + b + c = => a + b = – c => a2 + b2 + 2ab = c2 -> c2 – a2 – b2= 2ab Tương tự: a2 – b2 – c2 = 2bc; b2 – c2 – a2 = 2ac Nên B = a2 b2 c2 a + b3 + c + + = a 2bc 2ac 2ab 2abc Ta có a + b + c = => a3 + b3 + c3 = 3abc => B = 3abc = 2abc Bài 8: Cho a + b + c= Tính giá trị biểu thức: a −b b−c c −a  c a b  + + + + A=  a b   a − b b − c c − a   c Hướng giải : Đặt B = Ta có : B a −b b−c c −a + + c a b c c b−c c−a c  b − bc + ac − a  = 1+ +    = 1+  a−b a−b a b  ab ab Năm học 2018 – 2019 Giáo án Bồi dỡng HSG Toán THCS Lê Quý §«n =1+ Tương tự : B Vậy A = + Lª Phong Lan – Trêng c ( a − b )( c − a − b ) 2c 2c = 1+ = 1+ a −b ab ab abc a 2a b 2b3 = 1+ ; B = 1+ ; b−c abc c−a abc ( 2c 2a 2b3 a + b3 + c3 +1 +1 =3 abc abc abc abc ) Vì a + b + c = => a3 + b3 + c3 = 3abc => A = + 2.3abc =9 abc  Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình Bài 1: Giải phương trình (3x – 2)2 – (x – 3)3 = (2x + 1)3 Hướng giải : (3x – 2)3 – (x – 2)3 = (2x + 1)3 => (3x – 2)3 – (x – 3)3 – (2x + 1)3 = => (3x – 2)3 + (-x + 3)3 + (-2x – 1)3 = => Nhận xét: Ta có : 3x – – x + x – 2x – = Áp dụng nhận xét, ta có : (3x – 2)3 + (-x + 3)3 + (-2x – 1)3 = 3(3x – 2)(-x + 3)(-2x – 1) = Bài 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình : x3 + y3 + z3 – 3xyz = Hướng giải : Ta có : x3 + y3 + z3 – 3xyz = ⇔ (x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz) = Ta xét x2 + y2 + z2 – xy – xz = [(x – y2 + (y- z)2 + (z – x)2 ] ≥ nên xảy :  x + y + z = 1(1)  2  x + y + z − xy − yz − zx = 1( 2) Từ (1) ta có: x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = (3) Từ (2), (3) => xy + yz + zx = nên x2 + y2 + z2 = Giả sử : x2 ≥ y2 ≥ z2 =>z = 0; y = 0; x = Năm học 2018 – 2019 Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n Lê Phong Lan – Trờng THCS Lê Quý Đôn x =  Nếu  y = = > không t/m z =  x =  Nếu  y = = >T/m phương trình z =  x =  TH:  y = = > z =  x =   y = z =   Dạng 4: Chứng minh đẳng thức : Bài 1: Cho tam giác ABC có cạnh tương ứng a,b,c thoả mãn a3 + b3 + c3 = 3abc Hỏi tam giác ABC tam giác gì? a + b + c = Hướng giải : Ta có a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔  a = b = c Vì a, b, c cạnh tam giác ABC nên a + b + c ≠ nên ta có a = b = c (a, b, c >0) => ∆ABC tam giác Bài 2: Cho a + bc + c + d = Chứng minh : a3 + b3 + c3 + d3 = (d + c) (ab – cd) Hướng giải : Đặt c + d = x Ta có a + b + x = ⇒ a3 + b3 + x3 = 3abx hay a3 + b3 + (c + d)3 = 3ab(c + d) ⇒ a3 + b3 + c3 + d3 = 3ab (c + d) – 3cd(c + b) = 3(c + d)(ab – cd) Bài 3: CMR : x + y + z = 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Hướng giải : Từ x + y + z = ⇒ -x = y + z ⇒ (y + z)5 = -x5 ⇒ y5 + 5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 + 5yz4 + z5 = -x5 ⇒ x5 + y5 + z5 + 5yz (y3 + 2yzz + 2yz2 + z3) = ⇒ x5 + y5 + z5 + 5yz(y + z)(y2 + yz + z2) = ⇒ 2(x3 + y5 + z5) – 5yzx((y2 + z2) + (y + z)2)= ⇒ 2(x3 + y5 + z5)- 5yzx((x2 + y2 + z2)= Năm học 2018 – 2019 10 Giáo án Bồi dỡng HSG Toán Lê Phong Lan – Trờng THCS Lê Quý Đôn 2(x5 + y5 + z5) = 5yzx (x2 + y2 + z2) ⇒ đpcm IV/ Sử dụng đẳng thức biến đổi đồng : Bài tập : Cho a > b > , biết: a) 3a + 3b = 10ab Tính P = a −b a+b b) 2a + 2b = 5ab Tính Q = a+b a−b Hướng giải : a − 2ab + b 3a + 3b − 6ab 10ab − 6ab  a −b = = = Mà P > ⇒ P = a) Xét P =  ÷ = 2 a + 2ab + b 3a + 3b + 6ab 10ab + 6ab a+b 2 2 b) (Tương tự) Xét E = ⇒ E = Bài tập 2: a) Cho a + b + c = a + b + c = 14 Tính A = a + b + c4 b) Cho x + y + z = x + y + z = a Tính B = x + y + z theo a Hướng giải : a).Ta có: 142 = ( a + b + c ) ⇒ a + b + c = 196 − ( a b + b 2c + c 2a ) Ta có: a + b + c = ⇒ ( a + b + c ) a + b + c2 = ⇒ ab + bc + ac = − = −7 ⇒ ( ab + bc + ac ) = 49 ⇒ a b + b c + a 2c + 2abc(a + b + c) = 49 ⇒ a b + b 2c + a 2c = 49 Vậy A = a + b + c = 196 − 2.49 = 98 b) x = − ( y + z ) ⇒ x = ( y + z ) ⇒ x − y − z = 2yz ⇒ ( x − y − z ) = 4y 2z 2 ( ) ( ⇒ x + y + z = 2x y + 2y z + 2x z ⇒ x + y + z = x + y + z Bài tập 3: Cho x ≠ x + A = x2 + x2 ) = a4 ⇒ B = a4 = a Tính biểu thức sau theo a x B = x3 + x3 C = x6 + x6 D = x7 + x7 Hướng giải : Dễ dng chng minh c, n>1, ta cú: Năm học 2018 – 2019 11 Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n Lê Phong Lan – Trờng THCS Lê Quý Đôn x n +1 + Ta tính được: A = a − ; x n +1  1    =  x n + n ÷ x + ÷−  x n −1 + n −1 ÷ x  x  x   B = a − 3a ; C = a − 6a + 9a − ; D = a − 7a15 + 14a − 7a Bài tập 4: Phân tích số sau thừa số: 2 a) a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b ) b) a + 4a − 29a + 24 c) x + 6x + 7x − 6x + d) x + 6x + 11x + e) ( x + 1) ( x + 3) ( x + ) ( x + ) + 15 f) ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) 3 Hướng giải : a) Thay b − c = −(c − a) − (a − b) Sau thay, ta ( a − b ) ( c − a ) + ( c − a ) ( b − a ) = ( a − b ) ( c − a ) ( c + a ) − ( b + a )  = ( a − b ) ( c − a ) ( c − b ) b) Đáp số: ( a − 1) ( a − 3) ( a + ) c) Đáp số: ( x + 3x − 1) d) Đáp số: ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) e) Đáp số: ( x + 8x + 10 ) ( x + ) ( x + ) f) Đặt x − y = a y − z = b z − x = c ⇒ a + b + c = ⇒ a + b = −c ⇒ ( a + b ) = − c 3 ⇒ a + b3 + 3ab ( a + b ) = −c3 ⇒ a + b + c3 = −3ab(a + b) = 3abc ( x − y) + ( y − z) + ( z − x ) = 3( x − y) ( y − z) ( z − x ) 3 D Hướng dẫn tự học: – Xem lại nội dung chuyên đề ôn (các dạng tập phương pháp giải)  Bài tập tự luyện: Bài 156-164/ Bài tập nâng cao chuyên đề Đại số Bài 67-70/ Sách 500 toán nâng cao Toán Bài 1: Tìm tất giá trị x, y, z thoả mãn đẳng thức: (x – y + z)2 = x2 y2 + z2 Năm học 2018 – 2019 12 Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n Lê Phong Lan – Trờng THCS Lê Quý Đôn Bi : Tìm cặp số nguyên cho tổng hai số nguyên tích chúng Bài 3: Cho ba số thực a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng: P = (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) bình phương số thực Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu x số tự nhiên lẻ A = x4 + 2×3 – 16×2 _ 2x + 15 chia hết cho 16 Bài 5: Tìm GTNN (giá trị nhỏ nhất) biểu thức: f(x) = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + 2040 Bài 6: Biết x = y = 10 Tìm GTLN (giá trị lớn nhất) P = xy Bài 7: Tìm đa thức dư phép chia (x2005 + x200 + x20 + x2): (x2 – 1) Bài 8: Chứng minh rằng: Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC thoả mãn: a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc tam giác ABC Bài 9: Chứng minh rằng: Nếu a, b, c số thoả mãn a + b = c ta có đẳng thức: a2 + b2 + c2 + 2( ab – ac _ bc) = Bài 10: Chứng minh rằng: n số tự nhiên lẻ thì: A = n3 = 3n2 _ n _ chia hết cho – Chuẩn bị nội dung chuyên đề “Các PP phân tích đa thức thành nhân tử” E Rút kinh nghiệm: – Kế hoạch tài liệu dạy học:……………………………………….………………………………………………… – Tổ chức hoạt động học cho HS: . – Hot ng ca HS:. Năm häc 2018 – 2019 13 Gi¸o ¸n Båi dìng HSG Toán Lê Phong Lan – Trờng THCS Lê Quý Đôn Năm học 2018 – 2019 14 … + (2019 + 20 18) (2019 – 20 18) A = + + + + + … + 20 18 + 2019 A = ( + 2019 ) 2019 : = … b) B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)( 28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = (22 – 1) (22 +1)(24 + 1)( 28 + 1)(216 + 1)(232… + … – 20 182 + 20192 b) B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)( 28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 Hướng giải: a) A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20 182 + 20192 A = + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20192 – 20 182 ) A =… b) B = x2 + 8x c) C = – 2×2 + 8x – 15 Hướng giải: a) A = x2 – 4x + = x2 – 4x + + = ( x – 2)2 + > Dấu “ =” xảy ⇔ x – = ⇔ x = Vậy giá trị nhỏ biểu thức A x = b) B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) –

– Xem thêm –

Xem thêm: Chuyên đề: Những hằng đẳng thức đáng nhớ HSG toan 8, Chuyên đề: Những hằng đẳng thức đáng nhớ HSG toan 8

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Tin tức

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Tin tức Tại Website Pkmacbook.com